More useful explanations in video-form
monz.tar.bz2, 26.9.2011 21:41 MEZ

 
Entanglement-in-a-minute. just add hot water.

http://www.youtube.com/watch?v=IOYyCHGWJq4&lis[...]

9 Kommentare (< 4799 T)

mag.e, 4.10.2011 19:58 MEZ

Toll, es gibt einen Manga-Nazi-Catboy names Schrödinger:
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_%28H[...]
(mit Ohren!)

mag.e, 3.10.2011 13:04 MEZ

Endlich hat sich meine TeX Funktion mal bezahlt gemacht, danke ledo!

ledo, 1.10.2011 16:49 MEZ

@monz.tar.bz2: ah ja, und "adisch" kommt von dekadisch. deka = 10. die p-adischen zahlen funktionieren halt auch so ähnlich, halt nur mit p statt mit 10.

übrigens: der ganz normale absolutbetrag und die verschiedenen p-adischen beträge sind die einzigen beträge auf Q. (man kann also nicht statt p eine nicht-primzahl hernehmen.)

ledo, 30.9.2011 14:33 MEZ

Das geht so: Nimm eine Primzahl p. Diese liefert eine Betragsfunktion
$$|\,\,|_p: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$$
auf folgende Weise: Wenn du ein Element a/b aus Q hast (a und b beide aus Z), dann holst du aus a und b die größtmögliche Potenz von p heraus: a = cp^n, b = dp^m. Der p-adische Betrag ist dann p^(-n+m). Oder in Formeln:
$$|\frac{cp^n}{dp^m}|_p = p^{-n+m}$$

Diese Betragsfunktion hat jetzt die nette Eigenschaft, dass sie die Dreiecksungleichung erfüllt:
$$|x + y|_p \leq |x|_p + |y|_p$$
(Sogar eine bessere Ungleichung als diese, aber das soll uns jetzt egal sein.)

Jetzt braucht man sich nur noch an Analysis 1 erinnern. Damals hat man die reellen Zahlen R als die Vervollständigung der rationalen Zahlen bzgl des ganz gewöhnlichen Absolutbetrags definiert.

Also machen wir hier das gleiche: Wir definieren die p-adischen Zahlen Q_p als die Vervollständigung der rationalen Zahlen bzgl des p-adischen Absolutbetrags.

Der p-adische Absolutbetrag hat eine Fortsetzung von Q auf Q_p, und wir definieren die ganzen p-adischen Zahlen, Z_p, als den Ring aller x in Q_p, deren p-adischer Absolutbetrag nicht größer als 1 ist.

Was bedeutet das für deine unendliche Summe? Nehmen wir p = 2. Schauen wir uns die Folge 1, 2, 2^2, 2^3,... an. Die 2-adischen Beträge der Folgenglieder sind 1, 1/2, (1/2)^2, (1/2)^3,... Das ist eine Nullfolge, die schnell genug gegen 0 geht, so dass man ihre Summe bilden kann. (Siehe Analysis 1.) Mit anderen Worten: Die unendliche Summe
$$\sum_{i=0}^\infty 2^i$$
existiert in Q_p. Sogar in Z_p. Wenn man das weiß, dann geht der Rest ganz legal so durch wie im Video.

monz.tar.bz2, 29.9.2011 19:29 MEZ

'adische' zahlen ... horcht sich braun un

ledo, 28.9.2011 15:04 MEZ

im ring der 2-adischen zahlen $$\mathbb{Z}_2$$ ist das vollkommen richtig.

monz.tar.bz2, 27.9.2011 16:37 MEZ

sags halt glei

mag.e, 26.9.2011 23:28 MEZ

Wieso nicht so?
$$\sum_{i=0}^\infty 2^i = -1$$
(mit Doppel-Dollar)

monz.tar.bz2, 26.9.2011 21:48 MEZ

fast noch besser: \sum_{i=0}^\infty 2^i = -1

http://www.youtube.com/watch?v=kIq5CZlg8Rg&lis[...]

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